Fotometria Imprimeix Correu electrònic

Les observacions astronòmiques es basen en l'anàlisi de la radiació electromagnètica provinent dels astres (sigui generada per ells o reflectida). La radiació, la naturalesa de la qual es va descriure succintament en la secció Una pinzellada d'òptica, té el seu origen en l'excitació de les partícules carregades elèctricament (com els protons o els electrons) presents en les fonts de radiació. La llum que prové de les estrelles és la part visible de la radiació que emeten, i la mesura de la llum que rebem d'elles rep el nom de fotometria. Al segle II a.C, l'astrònom grec Hipparcos va classificar les estrelles en 6 classes diferents, segons la seva brillantor. Les estrelles de classe 1 (o de magnitud 1) eren les més brillants, i les de classe 6, les menys. No obstant aquesta classificació era una mica rude i no va ser fins a mitjan segle XIX que Norman R. Pogson va quantificar de forma més precisa aquesta classificació: va establir que les estrelles de magnitud 1 tenien una brillantor 100 cops més gran que les estrelles de magnitud 6, les menys brillants vistes a simple vista (sense telescopi). Això implicava que les estrelles de magnitud m eren 2.512 vegades menys brillants que les de magnitud m-1.

La següent taula mostra les magnituds d'alguns astres. Fixeu-vos que la magnitud és més negativa com més brillant és l'astre (veurem per què més endavant):

Objecte Magnitud
Sol -26.8
Lluna plena -12.6
Venus -3.8
Sirius (α Canis Maior) -1.46
Objectes més febles a simple vista
(en nit clara i sense contaminació lumínica)
6.5
Plutó 13.65
Objectes més febles amb telescopi de 12" 16 aprox.
Objectes més febles amb telescopi gran 25-30 aprox.

 

El concepte de magnitud a què estem fent referència en realitat s'anomena magnitud aparent, ja que la quantitat de llum que ens arriba de les estrelles depèn de la distància en què es trobin de nosaltres: per exemple, el llum del nostre escriptori ens pot semblar més brillant que Sirius, però, evidentment, el llum es troba a tan sols uns centímetres de nosaltres, mentres que Sirius es troba a 8.6 anys llum. Així doncs se'ns planteja el següent problema: com sabem si una estrella és en realitat (no aparentment) més brillant que una altra? Per resoldre aquest problema, els astrònoms van definir el concepte de magnitud absoluta (M), que es defineix com la magnitud aparent que tindria una estrella si es trobés a una distàcia de 10 parsecs de nosaltres.

 

A continuació s'expliquen, de manera més rigorosa, els conceptes que porten a definir la magnitud aparent i l'absoluta.

 

El concepte d'angle sòlid

Introduïm primer un objecte geomètric que ens permetrà referir-nos a una regió de l'espai a través de la qual es propaga part de la radiació emesa per una estrella: l'angle sòlid. De la mateixa manera que en l'espai bidimensional podem definir els angles, en l'espai tridimensional es defineixen els angles sòlids. En l'espai bidimensional, es defineix l'angle subestès per un arc d'una certa longitud com l'angle format per les rectes que parteixen d'un mateix punt i que arriben, respectivament, a cadascun dels extrems de l'arc. En la figura següent es pot veure com un arc de longitud L1 (de color blau) subestén dos angles diferents en dos punts també diferents.

Si prenem per exemple el punt PA, l'arc de longitud L1 subestén un angle θα. El mateix succeeix si prenem un altre punt de referència PB, que en aquest cas l'angle subestès per l'arc és θβ. S'observa que, donat un arc qualsevol, com més lluny estigui el punt de referència, més petit serà el seu angle subestès. Existeix una relació entre la longitud d'un arc, L, la distància entre el punt de referència i l'arc, r, i l'angle subestès per aquest, θ:

L = θ·r

Exemple: l'angle subestès per una circumferència respecte un punt del seu interior és 2π. Per tant la longitud de la circumferència és 2πr.
En cas que r sigui molt gran comparat amb la longitud de l'arc, aquest últim es pot aproximar com una recta.

Podem traslladar els conceptes que acabem de comentar a l'espai tridimensional. Ara, però, enlloc d'arcs de circumferència tenim porcions d'esfera, i enlloc d'angles tenim angles sòlids (angles bidimensionals):

En la figura de l'esquerra, la superfície S subestén un angle sòlid ω respecte el punt P. Malgrat que no s'hi hagi indicat, la distància entre el punt de referència i la superfície també condiciona la magnitud de l'angle sòlid, tal i com passa en el cas bidimensional.
De la mateixa manera, s'estableix una relació entre la superfície S, l'angle sòlid i la distància al punt de referència:

S = ω·r2

Exemple: l'angle sòlid subestès per una esfera respecte un punt del seu interior és 4π. Per tant, la superfície de l'esfera és 4πr2.
En cas que r sigui molt gran comparat amb S, aquesta última es pot aproximar per la superfície d'una circumferència.

Rigorosament parlant, un angle (o un angle sòlid) no té dimensions. No obstant hom assigna a la mesura d'un angle la unitat de radian (rad) i a l'angle sòlid la unitat del stereoradian (sr) .

Un exemple aplicat del concepte d'angle sòlid el trobem quan observem el Sol o la Lluna des de la Terra. Tots dos objectes, malgrat siguin tan diferents en dimensions (el Sol és 400 vegades més gran que el nostre satèl·lit) projecten el mateix angle sòlid (aproximadament de 6 × 10−5 sr), fent que ambdós astres semblin tenir una superfície semblant sobre el cel. La següent figura mostra com els astres vistos al cel semblen d'iguals dimensions (superfícies de color verd). NOTA: no s'ha respectat l'escala de dimensions per qüestions pràctiques:

 

Intensitat, densitat de flux i lluminositat

En la secció Una pinzellada d'òptica vam veure que una font de radiació (com una estrella) pot emetre ones electromagnètiques de diferents freqüències. Quan aquestes freqüències es troben en la regió de l'espectre visible, els nostres ulls són capaços de captar-les i distingir-les a través de la sensació del color; a la radiació d'aquest tipus l'anomenem llum. Els conceptes que es descriuen a continuació permeten estudiar com i en quina quantitat emet radiació una estrella. Denotarem els conceptes amb un subíndex ν per indicar que es refereixen a un rang de freqüències properes a una freqüència ν (banda). Si no hi ha subíndex voldrà dir que el concepte es defineix com a la suma d'aquest en totes les freqüències. Per exemple, amb Iν ens referim a la intensitat en una banda de freqüències properes a una freqüència ν, mentres que amb I ens referim a la suma de totes les Iν.

 

La intensitat és un concepte característic d'una font de radiació i descriu de quina manera la potència - o energia per unitat de temps - que emet la font flueix en una certa direcció de l'espai, és a dir en un angle sòlid. No hem de confondre aquesta definició amb el concepte quotidià d'intensitat, el qual no té en consideració cap a on radia una font. Per exemple, una llanterna de llum molt "intensa" (en el sentit quotidià) no il·lumina gens per la seva part posterior, mentres que una bombeta de menys "intensitat" pot il·luminar en totes les direccions:

Les unitats de mesura de la intensitat són watts per metre quadrat-stereoradian [W/m2·sr] o bé watts per metre quadrat-stereoradian-hertz [W/m2·Hz·sr], depenent de si parlem de la intensitat en totes les freqüències o de la intensitat a una certa freqüència ν, respectivament. En el primer cas, la intensitat es denota per I, mentres que en el segon per Iν.

En aquesta secció tractarem sempre amb fonts isòtropes, és a dir, que radien la mateixa potència en totes les direccions.

 

Imaginem ara que tenim una espelma encesa en una habitació fosca. És fàcil imaginar que aquesta radiarà gairebé isòtropament (igual en totes les direccions), i observarem que la llum que emet es distribuïrà per l'espai esfèricament:

S'observa en la figura que a mesura que ens allunyem de l'espelma (r cada cop més gran), la llum es va atenuant. Podríem dir que per a cada r tenim una esfera de certa densitat de "groc": les esferes més internes són molt compactes (denses), mentres que les externes són cada cop més difoses. Rigorosament parlant, el concepte que estem descrivint s'anomena densitat de flux (F), i ens diu quina potència de radiació hi ha per metre quadrat de superfície, per a una distància r. Aquesta potència que brolla de l'espelma (o de l'estrella) es va distribuïnt per l'espai, fent que la densitat de flux (que al cap i a la fi és una densitat de potència) disminueixi com més lluny estiguem d'ella. De fet, la densitat de flux decreix inversament proporcional a un factor r2, és a dir:

F = Fi / r2 , on Fi és un factor intrínsic de la font, independent de r.

La densitat de flux té unitats de watt per metre quadrat [W/m2] o bé watt per metre quadrat i hertz [W/m2·Hz] si ens referim només a la densitat de flux a una determinada freqüència. No obstant, les unitats de densitat de flux en astronomia són normalment petites, de manera que la unitat de watt per metre quadrat resulta ser poc pràctica. Per això, es defineix el Jansky (Jy); 1 Jy equival a 10-26 [W/m2·Hz].

 

Un altre concepte que s'afegeix a la llista és el flux: aquest es defineix com la potència (energia per unitat de temps) que travessa una superfície arbitrària S. El flux s'obté multiplicant l'àrea d'aquesta superfície per la densitat de flux, F:

L = S·F

Les unitats del flux són [W] o [W/Hz] depenent de si es tracta del flux en totes les freqüències o per a una freqüència determinada.

Els astrònoms defineixen un concepte derivat del flux anomenat lluminositat. Es diu que la lluminositat d'una estrella és el flux que travessa una superfície tancada que contingui la mateixa estrella. D'alguna manera, el concepte de lluminositat pretén copsar una característica intrínseca de la pròpia estrella, relacionada amb la seva potència de radiació. Si assumim que una estrella emet isòtropament, llavors la lluminositat és el flux que travessa una esfera de radi r centrada en l'estrella (veieu la figura de la dreta). Com que la superfície d'una esfera és S = 4πr2, llavors la lluminositat d'una estrella serà:

L = 4·π·r2·F


ATENCIÓ: de l'equació anterior se'n podria deduir que la lluminositat depèn de la distància al quadrat (r2) però no és així, ja que, com hem vist anteriorment, F decreix inversament proporcional a un factor r2, de manera que aquests factors es cancel·len, fent que la lluminositat sigui un paràmetre constant i, per tant, característic de l'estrella.

 

 

Magnituds aparents

La magnitud aparent d'una estrella és una relació entre la densitat de flux que ens arriba de l'estrella a la Terra i una densitat de flux coneguda que fem servir de referència (F0):

m = -2.5 · log (F / F0)

Com es pot deduir de l'equació anterior, si F=F0, la magnitud de l'estrella serà 0. D'altra banda, com més gran sigui F (és a dir com més brillant vegem l'estrella), més negativa serà la seva magnitud.

Un dels problemes que apareixen en tractar amb les magnituds aparents és que, a priori, no es distingeix entre les densitats de flux per a les diferents freqüències (colors) que rebem de l'estrella. En realitat, la densitat F està formada per la superposició de les densitats a cada freqüència (Fν): l'ull humà, per exemple, és especialment sensible als colors verd-grocs (longituds d'ona al voltant de 550 nm), per tant el nostre judici sobre la brillantor d'una estrella està condicionat a la potència que emeti en aquests colors: veurem les estrelles verd-grogoses més brillants que les, per exemple, més vermelles. És per aquest motiu que, depenent del mètode d'observació que s'utilitzi, es defineix un valor de referència F0 (magnitud 0) per establir el sistema de magnituds, i que es correspon amb la densitat de flux d'unes determinades estrelles standard.

El sistema de magnituds corresponent a la sensibilitat de l'ull s'anomena magnitud visual (mv). Si tinguéssim un detector ideal que pogués captar totes les bandes de freqüència, llavors obtindríem la magnitud bolomètrica (mbol). No obstant és molt difícil aconseguir-la, ja que part de la radiació que prové de les estrelles és absorvida per l'atmosfera. A més, la tecnologia actual permet fabricar detectors per a cert rang de freqüències, no per a totes les freqüències alhora. La magnitud bolomètrica pot deduir-se de la visual de la següent manera:

mbol = mv - BC

El terme BC s'anomena correcció bolomètrica. Per definició, BC és zero per a radiacions provinents d'estrelles semblants al Sol (en el sentit que la radiació es concentri majorment en unes determinades freqüències o colors). Com més diferent sigui l'estrella que observem respecte el Sol, més gran haurà de ser la correcció bolomètrica.

 

Les mesures de magnituds més precises es duen a terme mitjançant l'ús de fotòmetres fotoelèctrics, que mesuren la magnitud de la llum un cop filtrada en una determinada banda de freqüències. Un filtre és un dispositiu que només deixa passar unes determinades freqüències (o longituds d'ona). Imagineu que teniu una font de llum blanca (és a dir que radia en tots els colors) i imagineu que porteu unes ulleres amb els vidres tintats de vermell. Si mireu la font de llum, la veureu de color vermell, ja que els vidres tintats només deixaran passar la component vermella de la llum emesa per la font. En canvi, si amb les mateixes ulleres observéssiu una font de llum blava, la veuríeu negra, ja que el filtre vermell bloqueja tota llum que no sigui vermella. Hi ha dues característiques fonamentals que defineixen un filtre: la freqüència o longitud d'ona central i l'ample de banda. La longitud d'ona central indica quin és el color que "millor" travessarà el filtre, mentres que l'ample de banda indica quins colors al voltant del central també travessaran el filtre, encara que amb menys quantitat. Si l'ample de banda és estret, es diu que el filtre és molt selectiu (ja que només selecciona un rang molt petit de longituds d'ona), mentres que si l'ample de banda és gran llavors el filtre és poc selectiu. La figura següent mostra dos filtres A i B, centrats en les longituds d'ona λA i λB i d'amples de banda WA i WB , respectivament. El filtre A és molt selectiu (ja que només deixa passar el groc), mentres que el filtre B és poc selectiu, ja que deixa passar tots els blaus i part dels verds:

 

Un dels sistemes de magnituds més coneguts és l'standard UBVRI (Johnson & Morgan, 1952) el qual utilitza 5 filtres per analitzar la radiació provinent de les estrelles en diferents bandes freqüencials: el filtre U, que deixa passar la banda ultraviolada, el filtre B la banda blava, el filtre V la banda visual, el filtre R la banda roja, i finalment el filtre I que deixa passar la banda infrarroja. Un altre sistema important és el d'Strömgren, que consisteix en 4 filtres: u (ultraviolat), v (violeta), b (blau), y (groc). La següent taula mostra les característiques freqüencials dels filtres dels sistemes de magnituds que s'acaben d'esmentar:

Sistema de magnituds UBVRI
Filtre Nom Longitud d'ona central [nm] Ample de banda [nm]
U ultraviolat 367 66
B blau 436 94
V visual 545 88
R roig 638 138
I infrarroig 797 149
Sistema de magnituds uvby
u ultraviolat 349 30
v violeta 411 19
b blau 467 18
y groc 547 23
L = θ· L = θ·r r

 

Així per exemple, si féssim ús del sistema UBVRI quan mesuréssim la llum provinent d'una estrella, hauríem de mesurar 5 magnituds: mU, mB, mV, mR i mI (o U,B,V,R,I). Cadascuna d'aquestes escales de magnituds tindrà el seu propi valor F0 de referència, establert prenent unes determinades estrelles standard de calibració.

En qualsevol sistema de magnituds multicolor com els que acabem de veure, podem definir unes quantitats anomenades índexs de color. Un índex de color és la diferència entre dues magnituds. Per exemple, si restem la magnitud B de la magnitud U, obtenim l'índex U-B. Els índexs de color estan estretament relacionats amb la temperatura superficial de l'estrella. Per exemple, si mesurem un índex B-V i veiem que és més petit que zero, llavors l'estrella és blavosa (molt calenta); si l'índex V-R és més gran que zero, l'estrella serà roja (menys calenta).

Per exemple, el Sol té B-V=0.62, cosa que indica que no és una estrella blava.

 

Magnituds absolutes

Les magnituds aparents que acabem d'explicar no ens diuen res sobre la brillantor real d'una estrella. Com hem comentat al principi, la brillantor amb què veiem les estrelles depèn de com d'allunyades estiguin de nosaltres. Una quantitat que permet mesurar la brillantor pròpia o intrínseca d'una estrella és la magnitud absoluta. Aquesta es defineix com la magnitud aparent que tindria l'estrella si es trobés a una distància de 10 pc de nosaltres (32.6 anys llum). És a dir:

Recordem que F(r) = Fi / r2, on Fi és la densitat de flux intrínseca de l'estrella. Amb això podem establir una relació entre la densitat de flux a una distància r de l'estrella i la densitat de flux a 10 pc de la mateixa:

Amb aquestes dues últimes equacions podem definir el mòdul de distància, que és la diferència entre la magnitud aparent de l'estrella i la seva magnitud absoluta:

Aquesta última equació és molt important: sempre podem conèixer m (per observació), de manera que si per algun mètode poguéssim determinar M podríem saber a quina distància de nosaltres es troba l'estrella. I viceversa, si per algun mètode poguéssim conèixer la distància de l'estrella, podríem saber quina és la seva magnitud absoluta.

Les magnituds absolutes s'acostumen a escriure en majúscules. No obstant, en els casos com el sistema UBVRI, en què les lletres majúscules representen les magnituds aparents, la representació es fa amb una M majúscula i un subíndex: MU,MB,MV,MR,MI.

La magnitud bolomètrica absoluta pot expressar-se en termes de la lluminositat de l'estrella. Si F és la densitat total de flux a una distància r = 10 pc, i si coneixem la quantitat equivalent per al Sol (F), llavors:

La magnitud bolomètrica absoluta Mbol = 0 correspon a una lluminositat de L=3·1028 W.